Abelian Extension

定义 Definition

Abelian extension（阿贝尔扩张）：在抽象代数/数论中，通常指一个伽罗瓦扩张 \(L/K\)，其伽罗瓦群 \(\mathrm{Gal}(L/K)\) 是阿贝尔群（即可交换群）。这类扩张在类域论中尤为核心。
（在不同语境下也可能泛指“与阿贝尔群相关的扩张”，但最常见用法是上述伽罗瓦意义。）

发音 Pronunciation (IPA)

/əˈbiːliən ɪkˈstɛnʃən/

例句 Examples

An abelian extension has a commutative Galois group.
阿贝尔扩张的伽罗瓦群是交换的。

Class field theory describes abelian extensions of number fields in terms of arithmetic data.
类域论用算术数据来刻画数域的阿贝尔扩张。

词源 Etymology

Abelian 源自数学家 Niels Henrik Abel（尼尔斯·亨利克·阿贝尔） 的姓氏，用来纪念他在代数与可交换结构相关研究中的贡献；extension 来自拉丁语 extendere（“展开、延伸”），在数学中引申为“在原结构上扩充得到更大的结构”。合在一起，abelian extension 就是“具有可交换（阿贝尔）对称性的扩张”。

相关词 Related Words

• Abelian
• Extension
• Galois
• Galois Group
• Field
• Group
• Commutative
• Cyclotomic
• Class Field Theory
• Reciprocity Law

文学与经典著作 Literary Works

• Class Field Theory（Emil Artin & John Tate）：系统讨论阿贝尔扩张与类域论的对应关系。
• Algebraic Number Theory（Jürgen Neukirch）：在数域与局部域框架下频繁使用“abelian extension”。
• A Course in Arithmetic（Jean-Pierre Serre）：在数论与伽罗瓦理论相关章节中出现并应用该概念。
• Algebra（Serge Lang）：在域扩张、伽罗瓦群与交换性结构的叙述中使用该术语。